Bilgisayarı her kullandığınızda aslında Boole mantığına dayanıyorsunuz: Bu ingiliz matematikçi George Boole’dan (1815-1864) sonra adlandırılan ve bilgisayarlardan çok önce kurulmuş bir mantık sistemi. Boole mantığında ifadeler sadece doğru ya da yanlış değerlerinden birini alabilirler (örneğin şu anda “bir fincan çay istiyorum” yanlış ama “bir parça kek istiyorum” her zaman doğru), ve bu ifadeleri \( VE \), \( VEYA \) ve \( DEĞİL \) kelimelerini kullanarak bir araya getirebilirsiniz. Bu bileşik ifadelerin doğru olup olmadıklarını kanıtlamak için basit ifadelerin alabileceği bütün olası değerleri ve sonrasında da bütün bileşik ifadelerin değerlerini listeleyen bir doğruluk tablosu oluşturabilirsiniz.
Doğruluk tabloları basit mantıksal ifadeler için kullanışlıdır, fakat daha karmaşık ifadeler söz konusu olduğunda çabucak bezdirici ve hata yapmaya açık hale gelebilirler. Boole, ikili mantıksal işlemlerin, normalde kullandığımız aritmetik işlemlerimizle çarpıcı bir şekilde benzer davrandığını fark ederek hayatımızı kurtardı.
Bu yeni tür aritmetikte (Boole cebiri olarak isimlendiriliyor), değerler mantıksal ifadelerdir (genel olarak ya doğru ya da yanlış olan cümleler). Bu cümleler sadece iki değer alabildiklerinden, yanlış olduğunu bildiğimiz bir ifade için \( 0 \) ve doğru olduğunu bildiğimiz bir ifade için de \( 1 \) yazabiliriz. Böylece \( VE \) ’yi, \( 0 \) ve \( 1 \)’lerin bir tür toplamı olarak yazabiliriz:
\( 0 + 0 = 0\) ("yanlış \(VEYA \) yanlış" yanlış olduğu için)
\( 1 + 0 = 0 + 1 = 1\) ("doğru \( VEYA \) yanlış" ve "yanlış \( VEYA \) doğru" her ikisi de doğru olduğu için)
\( 1 + 1 = 1\) ("doğru \( VEYA \) doğru" doğru olduğundan).
\(VE \) 'yi bir tür çarpma olarak yeniden yazabiliriz:
\( 0 \times 1 = 1 \times 0 = 0\) ("yanlış \( VE \) doğru" ve "doğru \( VE \) yanlış" ikisi de yanlış olduğundan)
\( 0 \times 0 = 0 \) ("yanlış \( VE \) yanlış" yanlış olduğu için)
\( 1 \times 1 = 1 \) ("doğru \( VE \) doğru" doğru olduğundan).
Değişkenler sadece \( 0 \) ve \( 1 \) olduğundan, \( DEĞİL \) operatörünü de tümleyen, bir sayının karşıt değerini almak olarak tanımlayabiliriz:
\( A = 1 \) ise, \( A = 0 DEĞİL \)
\( A = 0 \) ise, \( A = 1 DEĞİL \)
\( A + DEĞİL A = 1 \) ("doğru \( VEYA \) yanlış" doğru olduğundan)
\( A \times DEĞİL A = 0 \) ("doğru \( VE \) yanlış" doğru olduğundan).
Operatörlerimizin bu yeni versiyonu birçok bakımdan aşina olduğumuz toplama ve çarpma kavramlarına anahtar birkaç fark dışında benzerdir. Denklemlerin parçaları, çok kullanışlı olabilen Boole cebirinde kolayca kaybolabilir. Örneğin;
\( A + A \times B \)
denkleminde \( B \)’nin değeri ne olursa olsun ya da hangi mantıksal ifadeyi temsil ederse etsin önemsizdir. Böyledir çünkü, eğer \( A \) doğru ise (ya da denk olarak \( A=1\) ) o zaman \( A VEYA (A VE B) \) ifadesi \( B\)’nin değerinin doğru ya da yanlış olmasından bağımsız olarak doğrudur. Eğer \( A \) yanlış ise ( \( A=0\) demektir), o zaman ( \( A VE B \) ), \( B\) ’nin değeri ne olursa olsun yanlıştır, yani \( A VEYA (A VE B) \) yanlıştır. Böylece Boole cebiri bize terimlerin kaybolabildiği bir etki sağlar: \( A + A \times B \) ifadesi \( A \) ifadesine eşittir:
\( A + A \times B = A. \)
Ayrıca, Boole cebirinde toplama ve çarpma arasında bir tür ters ikililik vardır:
\( (A + B)' = A' \times B' ve (A \times B)' = A' + B' \) ,
\( DEGIL A \), \( A’ \) olarak ifade ediliyor.
Bu iki eşitlik, İngiliz matematikçi Augustus de Morgan (1806-1871) sonrasında De Morgan kuralları olarak biliniyor. (Bu iki ifadenin doğruluğunu doğruluk tablosunu kullanarak gösterebilirsiniz.)
Bunlar, Boole cebirinin karmaşık mantıksal ifadeleri basitleştirmek için kullanılan iki uygulaması- teşekkürler George!
Çeviri: Erman Işık
Kaynak:
Plus Magazine, Maths in a minute: Boolean algebra, https://plus.maths.org/content/maths-minute-boolean-algebra