İşte matematik tarihinin en zarif kanıtlarından biri. \( \sqrt{2} \)'nin irrasyonel bir sayı olduğunu, başka bir deyişle \( a\) ve \( b\)'nin tam sayı olmak üzere bir \(a/b \) kesri olarak yazılamayacağını gösteriyor. 

Kök 2'nin irrasyonelliğinin kanıtı, genellikle Pisagor tarikatının bir üyesi olan Metapontumlu Hippasus'a atfedilir. Pisagorcular irrasyonel sayılar fikrinden hoşlanmadığı için (tarihsel kanıtlar oldukça karanlık olsa da) bu keşfi için öldürüldüğü söyleniyor.

√2'nin a/b kesri olarak yazılabileceğini ve a ve b' nin ortak bir böleninin olmadığını varsayarak başlarız - eğer varsa sadeleştiririz.

Sembolle gösterilirse:

\( \frac{a}{b} = \sqrt{2}. \)

Her iki tarafın karesini alırsak

\( \frac{a^2}{b^2} = 2 \)

elde ederiz. Ve her iki tarafı \( b^2 \) ile çarparsak

\( a^2 = 2b^2.\)

Bu, \( a^2 \) 'nin çift sayı olduğu anlamına gelir: \(2 \)'nin bir katıdır. Şimdi eğer \( a^2 \) çift sayı ise, \( a \) da çift olur (tek bir sayının karesinin tek olduğunu kendiniz kontrol edebilirsiniz). Bu, \( a \)'nın, \( c \) başka bir tam sayı olmak üzere \( 2c \) olarak yazılabileceği anlamına gelir. Bu nedenle,

\( 2b^2 = a^2 = (2c)^2 = 4c^2. \)

\(2 \)'ye bölersek

\( b^2 = 2c^2. \) 

Bu, \( b^2 \) 'nin çift olduğu anlamına gelir, bu da yine \( b\)'nin de çift olduğu. Bununla birlikte hem \( a \) hem de \( b \) çifttir, bu da ortak bir bölen içermediği varsayımıyla çelişir: eğer her ikisi de çiftse, \(2 \) ortak bölenine sahiptirler. Bu çelişki, \( \sqrt{2} \)'nin bir \( a/b \) kesri olarak yazılabileceği varsayımımızın yanlış olmasını gerektirir. Bu nedenle, \( \sqrt{2} \) irrasyoneldir.

Kaynak:

Maths in a minute: The square root of \(2 \) is irrational, https://plus.maths.org/content/maths-minute-square-root-2-irrational