2018 Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nde takdim edilen Fields madalyalarının sahiplerini ve çalışmalarını tanıttığımız yazı dizisine, Peter Scholze’nin ardından Caucher Birkar ile devam ediyoruz.
Caucher Birkar olarak tanınan İranlı Kürt matematikçinin asıl ismi Kürtçede Feridun Direxşan, Farsçada ise Fereydoun Derakhshani. İngilizceleştirilmiş bir kelime ikilisi olan Caucher Birkar kökünü Kürtçede yer alan Koçer Bîrkar sözcüklerinden alıyor ve dilimizdeki karşılığı göçebe matematikçi.
Birkar, İran’ın Irak sınırına bitişik olan Kürdistan vilayetinin Marivan şehrinde, 1978 yılında dünyaya geldi. İlkokula başladığı sıralarda bulunduğu coğrafya İran-Irak savaşına sahne olduğu için, zor bir çocukluk hayatı oldu. Ailesi çiftçilikle uğraştığı için, Birkar da çoğu vaktini onlarla birlikte çalışarak geçirdi. Tüm zorluklara ve savaşa rağmen mutlu kalmasının kaynağını ailesi olarak nitelendiren Birkar, ortaokul eğitim müfredatında yer almayan türev - integral gibi modern matematiksel konuları, abisinden erken yaşta öğrenme şansı bulmuştur. Kendisinin deyişiyle onu eğitiminde ve kariyerinde en çok etkileyen kişi abisi oldu.
Matematikteki lisans derecesini Tahran Üniversitesi’nden alan Birkar, 2000 yılında üniversite öğrencileri için düzenlenen Uluslararası Matematik Yarışması’nda üçüncü oldu. Üniversitede çalışmaya başladıktan kısa bir süre sonra İngiltere’ye gitmiştir ve burada siyasi sığınma talebinde bulundu. Uzun yıllar İngiltere’de mülteci statüsünde yaşayan Birkar, doktora eğitimini 2001-2004 yılları arasında Nottingam Üniversitesi’nde tamamladı. “Topics in modern algebraic geometry” isimli doktora tezini Rus matematikçiler I. Fesenko ve V. Shokurov’nun danışmanlıklarında yazdı.
2003 yılında, Londra Matematik Derneği’nin en çok gelecek vaat eden doktora öğrencilerine takdim ettiği, Cecil King seyahat bursu ile ödüllendirildi. Günümüzde Cambridge Üniversitesi’nde profesör olan Birkar, 2010 yılında Leverhulme ödülünü kazandı. Paris Matematiksel Bilimler Kuruluşu tarafından 2010’da ödüllendirilen Birkar, 2016 yılında Amerikan Matematik Derneği tarafından verilen Moore ödülüne, alandaşları P. Cascini (Imperial College London), C. D. Hacon (University of Utah) ve J. McKernan (UC San Diego) ile birlikte layık görüldü.
Son olarak Fields madalyasını kazanan Birkar, Maryam Mirzakhani’den sonra bu ödülü kazanan ikinci İranlı matematikçi oldu. Kısa süre önce kaybettiğimiz Mirzakhani, bu ödülü kazanan ilk ve tek kadın matematikçi. Birkar bu ödüle en genel olarak, “Boundedness of Fano varieties” problemine verdiği kanıt ve “Minimal Model Program (MMP)” için yaptığı katkılar nedeniyle layık görüldü.
Birkar’ın matematiğin içindeki ilgi alanı en genel anlamıyla cebirsel geometri. Cebirsel geometri, cebirsel çeşitlilik (varyete) isimli soyut uzayları konu alan modern bir matematik dalıdır. Bu çeşitlilikler, polinom denklemlerin bir koleksiyonunun çözüm kümeleridir. Örneğin, x²+y²=z² denklemini ele alalım. Eğer bu polinomun katsayılarını tam sayılardan seçersek, karşılık gelen çözüm kümesi Pisagor üçlülerinin bir koleksiyonudur. Eğer katsayılar gerçel sayılar ise, çözüm kümesi üç boyutlu uzayda bir konidir. Fakat bu katsayılar karmaşık sayılardan geliyorsa, çözüm kümesinin ne olduğunu geometrik olarak kolayca tarif edemeyeceğimiz bir soyut uzaydır ve bu uzay karmaşık sayılar tarafından dikte edilen bir geometri yapısına sahiptir.
Bu geometrik yapıların zenginliğinden dolayı, cebirsel geometriciler karmaşık cebirsel çeşitlilikleri çalışmayı tercih etmişlerdir. Bu çeşitlilikler büyük farklılıklar taşımalarına karşın, aynı zamanda bir çoğunun sahip olduğu benzerliklere de sahiptirler. Birasyonel geometri, birasyonel denklikler altında tüm karmaşık cebisel çeşitlilikeri sınıflandırmayı amaçlayan bir geometri dalıdır. Bu amaç doğrultusunda, MMP her bir sınıftaki özel çeşitlilikleri basit bir biçimde tanımlamanın ve yine bu basit olanları kullanarak daha çetrefilli olanların nasıl inşat edeceğini tariflemenin yoludur.
Birasyonel sınıflandırmanın kökleri ondokuzuncu yüzyılın en büyük matematikçilerinden biri olan Bernhard Riemann’ın çalışmalarına kadar uzanmaktadır. Riemann bir boyutlu karmaşık çeşitlilikleri çalışmıştır. Bu tip çeşitliliklere Riemann yüzeyi adı verilen iki boyutlu gerçel yüzeyler karşılık getirilebilir. Bu yüzeyler, çeşitliliklere göre daha derin geometrik yapılara sahiptir. Bu tip yüzeyler üçe ayrılırlar: Küre gibi pozitif eğriliğe sahip olanlar, bir delikli simit (torus) gibi sıfır eğriliğe sahip olanlar ve son olarak yapışık simitler (genus g tori) gibi negatif eğriliğe sahip olanlar. Delik sayısı g, bir boyutlu çeşitliliklerin sınıflandırılmasında kullanılan bir doğal bir sayıdır ve dolayısıyla her bir sınıf için değişmezdir.
İki boyutlu çeşitlilikler, G. Castelnuovo, F. Enriques ve F. Severi liderliğindeki yirminci yüzyıl İtalyan cebirsel geometricilerin araştırmalarının ana teması oldu. Bu çeşitlilikleri bütünlüklü olarak kavrama niyetiyle birasyonel geometriyi çalışmalarının ana doğrultusuna yerleştirdiler. Genel olarak iki çeşitlilik birasyonel olarak denkse, kimi ihmal edilebilir küçük alt kümeleri dışında temelde aynıdır. Bu yüzden birasyonel denklik, çeşitliliklerin sınıflandırılabilmesi için bir olanak sunmmaktadır. Ayrıca İtalyan geometriciler, iki boyutlu karmaşık bir çeşitliliği daha çetrefilli veya daha basit hale getirmenin yollarını bulmuşlardır. Çetrefilleştirmenin yolu şişirmedir (blow up) ve bir noktayı, o noktadaki izdüşümsel (projectivized) teğet uzayına genişletme işlemidir. Basitleştirmenin yolu söndürmedir (blow down) ve ilk işlemin tam tersidir, yani bir noktadaki izdüşümsel teğet uzayı o noktaya büzer. Bu işlemler birasyonel denklik altında çeşitliliğin yapısını değiştirmezler. Ayrıca söndürme işlemini yeterince tekrar ederek özel basit çeşitliliklere ulaşmak mümkündür.
Bu iki boyutlu basit çeşitlilikler üç türdür: İlki Mori-Fano lif uzaylarıdır. Bu çeşitlilikler Riemann küresinin doğal genelleştirilmeleridir ve pozitif eğriliğe sahiptirler. İkinci tür çeşitlilikler Calabi-Yau lif uzayları olarak adlandırılır. Bu çeşitlilikler simit şeklinin doğal genelleştirilmesiyle elde edilirler ve sıfır eğriliğe sahiptirler. Sonuncu tür ise genel tip çeşitliliklerdir ve negatif eğrilikli Riemann küresinin doğal genelleştirilmeleridir, yani en az iki delikli yüzeylerdir.
Birinci boyuttan ikinci boyuta taşınabilen yöntemler üçüncü boyuttaki sınıflandırma problemini ne yazık ki açıklayamamaktadır. Yetmişli ve seksenli yıllardaki çalışmalarıyla, Japon matematikçi Shigefumi Mori üçüncü boyutta tamamen yeni bir söndürme yöntemi geliştirmiştir. Bu yöntem, düzgünlüğünü kimi noktalarda yitiren uzaylar üretmiştir. Bu tip noktalar tekillikler olarak adlandırılırlar. Tekillik kuramındaki yeni gelişmeler bu sorunu kimi durumlarda ortadan kaldırmıştır ama diğer durumlar için fiske (flip) adı verilen bir araç gerekmiştir. Fiske sezgisel olarak, bir parçanın bir bölgeden çıkarıp, fiske vurduktan sonra geri yapıştırma işlemidir. Mori, üç boyutlu fiskelerin varlığını kanıtlamıştır ve bu sayede MMP üç boyutlu çeşitlilikler için uygulanabilir hale gelmiştir. Bu çalışmaları neticesinde Mori, 1990 yılında Fields madalyası ile ödüllendirilmiştir.
Seksenli ve doksanlı yıllarda, V. Shokurov’u da içeren bir dizi matematikçi MMP’nin daha genel bir türü olan sıralı MMP (log MMP)’yi geliştirdi. Bu programda her bir çeşitlilik, bir boyut eksikteki çeşitliliklerin bir koleksiyonu ile birlikte ele alındı. Bu bakış açısının eskiye nazaran daha güçlü olduğu ortaya çıktı ve sayesinde birçok yeni teorem kanıtlanabildi. Dolayısıyla bu gelişmeler MMP’nin yüksek boyutlu durumlara genellenebileceğine dair umut yarattı. Bu bağlamda, fiskelerin varlığının yüksek boyutlarda kanıtlanabilmesi, cebirsel geometrinin en göze çarpan açık problemlerinden biri haline geldi.
Shokurov 2003 yılındaki çalışmalarıyla, dördüncü boyuttaki fiskelerin varlığını kanıtladı. Mori’nin somut ve geometrik yaklaşımına karşın, Shokurov’un çalışmalarının ana kaynağı daha soyut ve cebirsel bir altyapıya oturan kohomoloji kuramı oldu. Shokurov’un bu çalışması ile Fields madalyasına ulaşamamasının tek sebebinin o anki yaşı olduğunu söylemek abartı olmaz. Kohomoloji kuramı,soyut uzayların özelliklerini ayrıştırarak anlamamızı sağlar.
Shokurov’un doktora öğrencisi olan Birkar, bu yeni teknikleri ve arkasında yatan felsefeyi çok iyi bir biçimde özümsemiş bir isim. Doktorasını bitirdikten sadece iki yıl sonra, aynı alanda çalıştığı diğer üç arkadaşıyla beraber Moore ödülünü kazanmasına vesile olan makaleyi yayınladılar. Bu makale, soyisimlerinin ilk harflerinden oluşan BCHM ile tüm dünyada biliniyor.
BCHM’nin temel taşlarından biri doğal demet (canonical bundle) yapısı. Bu demetin bölmelerini ve onun üslerini alarak doğal halka (canonical ring) yapısını elde etmek mümkün. Bu tip halkaların sonlu üretilmiş olmaları veya olmamaları uzun zamandır cevap bekleyen önemli açık sorulardan biri oldu ve BCHM bu soruya olumlu yönde cevap verdi. Ayrıca BCHM’de, Calabi-Yau lif uzayları türündeki çeşitlilikler ve genel tip çeşitlilikler için, MMP’nin tüm boyutlara genellenebileceğini kanıtlandı.
Birkar 2016 yılındaki çalışmalarıyla, Fano çeşitliliklerine de odaklandı. Kaleme aldığı iki yeni muazzam makale ile Borisov-Alexeev-Borisov sanısını kanıtladı. Bu sanı kimi makul şartlar altında, Fano çeşitliliklerinin sınırlı bir aile oluşturduklarını iddia ediyor. Bu çalışmalar, aynı alandaki tüm diğer matematikçiler tarafından ilgiyle karşılandı ve bu doğrultuda Birkar dünyanın çeşitli yerlerinde çeşitli seminerler ve dersler verdi.
MMP’yi katsayılarını karmaşık sayılar cisminden seçtiğimiz çeşitlikler yerine katsayılarını karakteristiği p olan cisimlerinden seçtiğimiz çeşitliliklere dönüştürebiliriz. Karakteristiği p olan cisimler, verilen bir p asalı için, {0,1,…,p-1} kümesi üzerinde mod p’ye göre tanımlanan toplama ve çarpma işlemlerinin, bu küme ile birlikte toplamaya ve sıfırdan farklı elemanlar için çarpmaya göre değişmeli grup yapısı taşımasından ve bu işlemlerin birbiri üzerine sağdan ve soldan dağılmasından ibaret.
Karakteristik p’deki çeşitlilikler, sayılar kuramı ile de yakından ilintili olduğu için birçok matematikçi tarafından incelendi. Fakat karmaşık durumdaki birçok aracı ve argümanı karakteristik p’ye taşımak mümkün olmadı. Birkar yeni filizlenen bu alana bir dizi ilham veren katkıda bulundu. C. Hacon (University of Utah) ve C. Xu (Beijing International Center of Mathematics Research) ikilisinin çalışmalarına dayanarak, 5’den büyük p asalları için, karakteristiği p olan cisimler üzerinde tanımlanan çeşitliliklerle ilintili sıralı fiskelerin varlığını kanıtlamıştır. Ayrıca aynı şartlar altında MMP’nin, sıralı Calabi-Yau lif uzayları türündeki çeşitlilikler ve sıralı genel tip çeşitlilikler için uygulanabilir olduğunu göstermiştir.
Derin ve temel problemlerin ustalıkla üstesinden gelen Birkar, cebirsel geometri alanının yeni lideri olarak ortaya çıkmıştır. Şüphesiz ki, yeni çalışmaları ile matematikçilere yol göstermeye devam edecektir. Birkar'a kalpten tebriklerimizi gönderiyoruz...
Kaynaklar:
The Work of Caucher Birkar by Allyn Jackson
Not: Yukarıdaki yazının matematiksel kısmı büyük ölçüde bu kaynağın derlenerek ve sadeleştirilerek çevirilişinden ibarettir.
https://en.wikipedia.org/wiki/Caucher_Birkar
https://www.youtube.com/watch?v=KPTEkNZ4XCk&t=16s
https://www.quantamagazine.org/caucher-birkar-who-fled-war-and-found-asy...
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~cb496/birgeom-paris-public.pdf
https://www.semanticscholar.org/paper/Topological-classification-of-RNA-...