İki gün önce, 21 Mart J.S. Bach’ın doğum günü idi. Barok döneminin en yaratıcı ve üretken bestecisi olarak nitelendirilebilecek J.S. Bach, Batı müziğine aşina olan birçok müzisyen tarafından ‘tüm müzisyenlerin babası’ olarak tanımlanır. Nitekim Bach’ın çocuklarının ve torunlarının da birçoğu müzisyen olmuşlar, müzik tarihine geçen eserler vermişlerdir.
Müzik, Bach’ın dindarlığı da düşünüldüğünde gerçek yaşamdan apayrı, pek incelemeye gelmeyen, sadece hayran olunmakla kalınacak uhreviye ulaşılmaz bir öze sahip olduğu düşünülebilir. Ancak müziğin yapısı hakkında artan sayıda araştırma, matematiksel dilin müziğin yapısını açıklamakta kullanılabileceğini gösteriyor. Tıpkı calculus’un geliştirilmesi ile matematiksel fiziğin yeni bir dile kavuşması gibi, müzik teorisinin net bir dille açıklayamadığı ya da kısır kaldığı noktalarda, matematiksel dil kesinlik sağlayabiliyor. Üstelik uygun soyutlamalar ile görülen ya da eldeki gerçekliklerin birbirleri ile ilişkisini açıklıyor ve böylelikle yeni olanaklara da, örneğin besteciler açısından, kapı açmış oluyor.
KANON YAPISI
Plus dergisinde geçtiğimiz aylarda yayımlanan bir makale de Bach’ın kanonlarını matematiğin bir dalı olan topolojiyi kullanarak açıklayan bir makale anlatılmış. Kanon, çok sesli müziğin gelişiminin ilk adımlarında, özellikle Barok dönemde popüler olan ve füg adı verilen ve melodilerin zaman aralığı ile birbirlerini taklit edebildikleri türün, en katı hali. Zira kanonda, tüm kısımlar (sesler) aynı melodiye sahipler, ancak zamansal farkla.
Aşağıdaki kanon örneği bir çocuk şarkısı. 2. ses, 3. ölçüden itibaren başlıyor. Tabii ki, bu iki melodi bu özel aralık ile üs tüste geldiğinde, armoni kurallarını da ihlal etmiyorlar, yani birbirleri ile uyumlu olacak şekilde, zamansal aralık belirleniyor.
Müziği x ekseni zaman, y ekseni ise perde olan bir şerit gibi düşünürsek, kendini devamlı tekrar eden bu sekiz ölçülük melodi topolojik olarak aşağıdaki gibi bir silindir olur:
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
type="#_x0000_t75" style='position:absolute;left:0;text-align:left;
margin-left:-1.2pt;margin-top:29.8pt;width:481.9pt;height:208.6pt;z-index:1;
visibility:visible;mso-wrap-style:square;mso-wrap-distance-left:12pt;
mso-wrap-distance-top:12pt;mso-wrap-distance-right:12pt;
mso-wrap-distance-bottom:12pt;mso-position-horizontal:absolute;
mso-position-horizontal-relative:margin;mso-position-vertical:absolute;
mso-position-vertical-relative:line' wrapcoords="0 0 21600 0 21600 21600 0 21600 0 0"
strokeweight="1pt">
o:title=""/>
BACH'IN KANONLARINDAKİ SİMETRİ
Kanon, Bach’ın ustalığını gösterdiği türlerden birisi. Goldberg Çeşitlemeleri’nde yer alan kanonlarda, yukarıdaki simetrinin daha karmaşık örneklerini görürüz. Kanon 3,4 ve 5’de melodilerin çevrimini de görürüz, ki bu da farklı bir simetri türüdür. Aşağıdaki ikinci melodi, ilk melodinin x eksenine göre, ters çevrilmiş hali. Notaların başlarına baktığımızda x eksenine göre simetrik olduğunu görürüz. Bu da duyulabilir bir ilişki.
Bu iki melodi (bir melodi ve simetrisi) aşağıdaki kanonda görülebilir. İkinci ses, melodinin kendisi. İlk ses ise, ikinci (çevrilmiş) melodi. Bach’ın üç kanonunda da bu simetri mevcut.
Yukarıdaki yapı da aşağıdaki şekilde gösterilebilir. Silindirin sapı gibi olan kısım girişteki ilk 3 ölçü. Sonraki 4 ölçü ise silindirin kendisi.
KANON VE MOBİUS ŞERİDİ
5 numaralı kanonda ise, daha da karmaşık bir simetri var. Dört sesli kanonda, ikinci satırdan itibaren en üst sesin, ilk satırda 2. ölçüden itibaren yer alan melodinin simetrik transformasyonu olduğunu görüyoruz. Müzikte simetri, genel olarak yapıyı koruyan transformasyonlar olarak düşünülüyor. Simetriden bahsedilen noktada da grup teorisi işin içine giriyor. Bu kanon örneklerindeki melodilerin zaman ve perde ilişkileri üzerinden ifade edilen simetrik ilişki, bir müziksel kompozisyondaki olası simetrilerden sadece bir tanesi.
Simetrik ilişkileri daha net görebilmek için, aşağıdaki iki satıra bakabiliriz. İkinci satır ilk satırın x eksenine göre simetriği ve tamamen ilk satırdaki simetri ilişkisini daha rahat görebilmek için var. İlk ölçüdeki dikdörtgenli kısım (3. ve 4. ölçüler) ilk satırdaki ilk kısmın x eksenine göre simetrisi. İlk satırın ilk iki ölçüsünü silindir olacak şekilde değil de, Mobius şeridi olacak şekilde birleştirdiğimiz zaman, ilk satırı elde ediyoruz.
Mobius şeridi,1858’de Gauss’un iki öğrencisi tarafından keşfedilen bir yapı. Dikdörtgen şeklinde, uzun bir şeridi tek bir yüzeyi olacak şekilde başı ve sonunu birleştirerek elde ediliyor, öyle ki, bir karınca devamlı olarak şeridin uzun kenarında yürüyorsa dikdörtgen şeridin iki yüzeyinde de yürümüş oluyor.
İlgili haber:
Anthony Phillips, “Bach and the Musical Möbius Strip”, https://plus.maths.org/content/topology-music-m-bius-strip, November 25, 2016.
İlgili makale:
Eric l. Altschuler &Anthony Phillips, “The sound of topology: two-dimensionalmanifolds in Bach”, The Musical Times, Winter 2015, pp57-64.
Manşet görseli:
http://www.wqxr.org/#!/story/hidden-mesmerizing-logic-bach-canons/