2018 Fields madalyası alan dört isimden biri de İtalyan matematikçi Alessio Figalli

2018 Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nde takdim edilen Fields madalyalarının sahiplerini ve çalışmalarını tanıttığımız yazı dizisini Alessio Figalli’nin çalışmalarıyla noktalandıracağız.
Bilim ve Aydınlanma Akademisi Matematik Komisyonu
Cumartesi, 11 Ağustos 2018 16:55

1984 yılında İtalya’nın başkenti Roma’da dünyaya gelen Alessio Figalli, lise eğitimini Vivona Klasik Lisesi’nde tamamlamıştır. Lisans ve yüksek lisans derecesini 2006 yılında Pisa’daki Scuola Normale Superiore’ den elde etmiştir. Bir yıl sonra doktorasını aynı üniversitedeki İtalyan matematikçi Luigi Ambrosio ve Lyon’da bulunan École Normale Supérieure’de görev yapan Fransız matematikçi Cédric Villani’nin danışmanlığında tamamlamıştır. Cédric Villani de 2010 Fields madalyası sahibi bir matematikçidir.  

2008’de Fransız Ulusal Araştırma Merkezi’nde (CNRS) araştırmacı olarak göreve getirilen Figalli, 2009 yılında Profesör Hadamard kadrosunda Paris’te bulunan École Polytechnique’ te çalışmıştır. Aynı yıl Austin’deki Texas Üniversitesi’nde doçentlik görevine getirilen Figalli, 2011’de profesörlüğünü elde etmiştir. 2016 yılından beri ETH Zurih’te profesör olarak görev yapmaktadır.

Bu zaman diliminde Figalli matematiğin bir çok prestijli ödülünü kazanmıştır. 2007’de Prix and Cours Peccot ödülüne layık görüldükten sonra, 2008 yılında Avrupa Matematik Derneği (EMS) ödülünü elde etmiştir. 2016 yılında Stampacchia madalyası kazanan Figalli, 2017 yılında Feltrinelli ödülünü almıştır.

Son olarak Fields madalyasını kazanan Figalli, Enrico Bombieri’den sonra bu ödülü kazanan ikinci İtalyan matematikçi olmuştur. Bu ödüle en genel olarak, optimal taşıma teorisine verdiği katkılar ve bu katkıların kısmi diferansiyel denklemler, metrik geometri ve olasılık kuramına uygulamalarından dolayı layık görülmüştür.

Figalli’nin çalışmaları optimal taşıma teorisine ait olsa da ortaya çıkma sürecinde matematiğin diğer kuramlarını da geniş bir biçimde kullanmıştır. Genç yaşına rağmen Figalli’nin matematik külliyatı bu nedenle çok zengindir. Şimdi, optimal taşıma teorisine giriş yaparak, Figalli'nin çalışmalarını tanıtmaya çalışalım.

Bir rafta dizili n tane (aynı kalınlıkta, bu kalınlığa “1 birim” diyelim) kitaplardan oluşan bir kitap seti olduğunu hayal edelim. Bu setteki kitapların tamamını (sıralama gözetmeksizin) bir birim sağa doğru kaydırmak için ilk olarak n. kitabı, sonra (n-1). kitabı ve böyle devam ederek son olarak birinci kitabı sağa doğru bir birim kaydırmamız yeterlidir. Bu yöntem n tane harekete “mal olur”. Öte yandan, yine n tane harekete mal olan başka bir optimal çözüm mevcuttur: ilk kitabı alıp n birim sağa doğru kaydırmak. Bu çözümlerin her birine optimal taşıma dönüşümü adı verelim.

Yukarıda bahsettiğimiz türden bir problemin analizi, ilk olarak Fransız matematikçi Gaspard Monge tarafından yaklaşık 250 yıl önce yapılmıştır. O dönemin Fransız kralı Napolyon’un emri üzerine Monge, çoğunlukla topraktan oluşan inşaat malzemelerinin kaynağından yapım yerine nasıl en düşük işgücü ile taşınacağını analiz etmiştir.

Büyük ölçüde matematik biliminin o sırada yetersiz olmasından dolayı, Monge’un çalışmaları yaklaşık yüz elli yıl yerinde saymıştır. 1940’lı yıllarda, aynı zamanda ekonomist olan Sovyet matematikçi Leonid Kantorovich bu problemi, fonksiyonel analiz ve ölçü kuramı gibi modern matematik kuramları  kullanarak yeniden ele almış, daha karmaşık durumlar için de genelleyip, çözüm yollarını sunmuştur. Bu çalışmalarıyla Kantorovich, 1975 yılında Nobel Ekonomi ödülüne layık görülmüştür.

1980’lı yıllar boyunca matematikçiler, optimal taşıma teorisinde önemli gelişmeler kaydetmişlerdir. Bu çalışmalar, meteoroloji, şehir planlama, mühendislik, hidrodinamik, görüntü işleme, biçim algılama, astrofizik ve biyoloji gibi çeşitli bilim dallarına ve disiplinlere önemli katkılar sunmuştur. Aynı zamanda bu çalışmalar matematiğin Riemann geometrisi ve kısmi diferansiyel denklemler gibi alanlarına da yeni bir soluk getirmiştir. Figalli ve alandaşları Francesco Maggi (Austin’deki Texas Üniversitesi) ve Aldo Pratelli'nin (Erlangen-Nürnberg Üniversitesi) çalışmalarının en muazzam örneklerinden biri minimal yüzeyler üzerinedir.

Matematik tarihinde çok eski köklere sahip minimal yüzeyler, bazı kısıtlamalar altında bir alanı yerel olarak en aza indiren yüzeylerdir. Örneğin çember, bir bölgeyi kaplamak için gereken şeklin çevresini en aza indiren bir minimal yüzey örneğidir. Minimal yüzeyler günlük hayatta da sıklıkla karşımıza çıkarlar. Her çocuğun keyifle oynadığı sabun (deterjan) köpüklerini hayal edin. Sabun köpüğüne daldırdığımız küçük bir su hortumundan veya bir çubuktan hava üflediğimizde, köpük genişleyerek bir kürenin şeklini alır. Bunun nedeni kürenin kararlı bir şekil olmasıdır, daha doğrusu küre şekli bu oluşumun atom yapısı tarafından dikte edilen ve en az enerji gerektiren cisimdir.

Kristaller hızlıca enerjiyi minimize eden şekillere büründükleri için, sabun köpükleri gibi davranırlar. Köpüklerin ve kristallerin bu özellikleri yaklaşık bir yüz yıl önce, diğer kuvvetlerin varlığı ihmal edilerek yani içinde bulunduğu sistem idealize edilerek çalışılmıştır. Bu noktada kimi doğal sorular türetilebilir. Örneğin, dışarıdan ısı gibi bir enerji uygulandığında kristal nasıl deforme olur?

Bu soru Figalli ve çalışma arkadaşlarının ilgisini çekmiştir ve optimal taşıma teorisini kullanarak bu probleme yaklaşmışlardır. Dışarıdan E miktarında enerji uygulandığını varsayalım. Bu müdahale sonucu ideal kristal şeklini deforme ederek yeni bir şekle dönüşür. Figalli ve çalışma arkadaşları basit ve şaşırtıcı bir sonuca ulaşmışlardır: Ortalama olarak ideal kristal şeklinin üzerindeki her bir nokta E sayısının karekökü miktarında hareket ederek yeni şekli oluşturmuştur. Tüm yalınlığına rağmen bu buluş çok derin bir teorik zemin barındırmaktadır.

Figalli ve çalışma arkadaşlarının ikinci önemli sonucu da benzer bir matematiksel derinliğe sahiptir. Kısmi diferansiyel denklemlere dair kaydettikleri geniş teorik sonuçlar jeostrofik denklem sistemlerinin analizi için kullanılmıştır. Jeostrofik denklemler, 1990’lı yıllarda ilk olarak meteroloji üzerine çalışan bilim insanları tarafından, okyanus ve atmosferdeki büyük ölçekli dinamikleri kavramak için ortaya konmuştur. Bu denklemlerin çözümlerini elde etmek zor olduğu için bilgisayar yardımıyla kimi özel çözümler elde edilmiştir. Bu yeterli olmadığı için, hangi durumlarda çözümün olmadığı veya hangi durumlarda daha kolay bir biçimde bulunabileceği merak konusu olmuştur.

Okyanusa ve atmosfere ait bu fenomenleri açıklayabilmek için, jeostrofik denklemlerin varlığını ve tekliğini garanti eden ve aynı zamanda kimi çözüm yollarını veya çözümsüzlüğü tarif eden teorik bir kavrayış gerekmiştir. Figalli ve arkadaşları bu kavrayış için ilk olarak diferansiyel geometride ciddi bir yer tutan Monge-Ampère denklemlerini çalışmışlardır. Çünkü verilen belirli bir yoğunlukta Monge-Ampère denklemlerinin çözümleri optimal taşıma dönüşümüne karşılık gelmektedir.

Son elli yıldır, Monge-Ampère denklemlerini kullanarak, yarı jeostrofik içerik ile optimal taşıma dönüşümleri arasındaki ilişki açık bir şekilde ortaya konulamamıştır. Figalli ve alandaşı Guido De Philippis’ in (Pisa’ daki Scuola Normale Superiore) çalışmaları, bu nedenle büyük bir ilgiyle karşılanmıştır. Monge-Ampère denklemlerini kullanarak yarı jeostrofik denklemlerin düzenliliğini kanıtlamışlardır.

Son olarak Figalli’nin serbest sınır problemlerine dair çalışmalarından bahsedelim. Su içine batırılmış bir buz kütlesi hayal edin. Bu buz kütlesinin içindeki sıcaklık 0 santigrat derece iken dışındaki sıcaklık 0 santigrat derecenin üzerindedir. Bu noktada şu doğal soru ortaya çıkar. Bu iki bölgeyi birbirinden ayıran sınırın şekli nedir? Sezgisel olarak bu serbest sınırın düzgün (smooth) olmasını beklemek doğal olsa da bu olguyu kanıtlamak oldukça zor bir iştir, çünkü bu serbest sınır kimi tekil (düzgünlüğü bozan) noktalar içeriyor olabilir. 1970’lerden önce bu serbest sınırın şeklinin düzgünlüğü hakkında çok az şey ortaya konmuştur. 1977’de Arjantinli matematikçi Luis Caffarelli bu serbest sınırın tekil noktalar kümesi dışında düzgün olduğunu kanıtlamıştır. Caffarelli ayrıca bu tekil noktalar kümesinin geometrik tarifini ortaya koymuştur.

Geçtiğimiz 40 yıl boyunca, sadece iki boyutlu nesneler hakkında kimi ek sonuçlar ortaya konulabilmiştir. 2017 yılında Joaquim Serra (ETH Zurih) ile birlikte serbest sınırın bütün ve nihai tarifini ortaya koydukları çalışmalar, diğer matematikçiler tarafından büyük bir ilgiyle karşılanmıştır. Tam olarak bazı ayrık tekillikler altında, üçüncü boyuttaki serbest sınırın düzgün olduğunu kanıtlamışlardır. Ayrıca herhangi bir boyut için, serbest sınırlardaki tekilliklerin doğası hakkında kesin sonuçlar ortaya koymuşlardır.

Henüz 34 yaşında olmasına rağmen yazdığı 150 civarında makale ile Alessio Figalli, matematikçilerin arasında yeni dahil olduğu yarışta liderliği çoktan ele geçirmiştir.


Kaynaklar:

The Work of Alessio Figalli by Allyn Jackson: https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/figalli-final...

https://www.quantamagazine.org/alessio-figalli-a-mathematician-on-the-mo...

https://vimeo.com/281868592

https://en.wikipedia.org/wiki/Alessio_Figalli

http://normalenews.sns.it/fields-medal-to-the-normale-alumnus-alessio-fi...